Биссектриса угла параллелограмма — это луч, исходящий из вершины угла и делящий его на две равные части. В параллелограмме биссектриса может быть проведена через каждый из четырех углов.
Свойства биссектрисы параллелограмма:
- Биссектрисы соседних углов параллелограмма перпендикулярны.
- Биссектрисы углов параллелограмма пересекаются в одной точке — центре вписанной окружности.
- Биссектриса параллелограмма делит противоположную сторону на две равные части.
- Биссектрисы противоположных углов параллелограмма равны по длине.
- Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.
Как найти биссектрису угла параллелограмма:
- Найдите середину стороны, противоположной углу, биссектрису которого вы ищете.
- Соедините середину этой стороны с вершиной угла.
- Полученный луч будет являться биссектрисой угла параллелограмма.
Как провести биссектрису в параллелограмме:
- Найдите середину противоположной стороны параллелограмма.
- Соедините середину этой стороны с вершиной угла, через который нужно провести биссектрису.
- Полученный луч будет являться биссектрисой этого угла.
Теорема о биссектрисе угла параллелограмма гласит: биссектриса угла параллелограмма делит противоположную сторону на две равные части.
Доказательство теоремы о биссектрисе угла параллелограмма:
Пусть ABCD — параллелограмм, а E — точка пересечения биссектрисы угла A и стороны BC.
Тогда AE = EC (по определению биссектрисы угла A)
А также AB || DC и BC || AD (по свойствам параллелограмма)
Отсюда следует, что треугольник AED подобен треугольнику CEB (по двум прямым углам и общей стороне).
Значит, AE/CE = AD/BC.
Но AD = BC (по свойствам параллелограмма), следовательно, AE = CE.
