Окружность, которая касается всех сторон четырехугольника, называется вписанной окружностью. Если в четырехугольник можно вписать окружность, то он называется вписанным.
Свойства окружности вписанной в четырехугольник:
- Центр вписанной окружности является точкой пересечения биссектрис углов четырехугольника.
- Радиус вписанной окружности равен полупериметру четырехугольника, деленному на два.
- Сумма противоположных сторон вписанного четырехугольника равна.
Описанный четырехугольник
Описанный четырехугольник — это четырехугольник, который описывается около окружности, то есть все его вершины лежат на окружности.
Свойства описанного четырехугольника:
- Центр описанной окружности является точкой пересечения диагоналей.
- Радиус описанной окружности равен половине диагонали, проходящей через центр описанной окружности.
- Сумма противоположных углов описанного четырехугольника равна 180 градусов.
Четырехугольник описанный около окружности
Четырехугольник, который описывается около окружности, называется описанным. В описанном четырехугольнике все вершины лежат на окружности.
Свойства четырехугольника описанного около окружности:
- Центр описанной окружности является точкой пересечения диагоналей.
- Радиус описанной окружности равен половине диагонали, проходящей через центр описанной окружности.
- Сумма противоположных углов описанного четырехугольника равна 180 градусов.
Свойства окружности вписанной в четырехугольник
- Центр вписанной окружности является точкой пересечения биссектрис углов четырехугольника.
- Радиус вписанной окружности равен полупериметру четырехугольника, деленному на два.
- Сумма противоположных сторон вписанного четырехугольника равна.
Признаки описанного четырехугольника
- Все вершины четырехугольника лежат на окружности.
- Диагонали пересекаются в одной точке, которая является центром описанной окружности.
- Углы, образованные хордами, равны половине от суммы остальных углов.
Признаки вписанного четырехугольника
- Окружность, вписанная в четырехугольник, касается всех его сторон.
- Любые две стороны четырехугольника и две соответствующие им радиусы вписанной окружности образуют равнобедренный треугольник.
- Сумма противоположных сторон вписанного четырехугольника равна.
Строительство описанной окружности
Для построения описанной окружности необходимо найти центр, который является пересечением диагоналей четырехугольника. Радиус описанной окружности равен половине диагонали, проходящей через центр описанной окружности. Далее, проводится окружность с центром в найденной точке и радиусом, равным найденному значению.
Вывод
Описанные и вписанные окружности в четырехугольниках имеют множество свойств и признаков, которые являются важными для решения задач по геометрии. Знание этих свойств позволяет решать задачи разной сложности и строить различные фигуры.
